01

債券久期

1.久期的概念

久期（Duration）是指市場(chǎng)收益率變動(dòng)一個(gè)百分點(diǎn)時(shí)，債券組合價(jià)值的波動(dòng)幅度。它用來衡量債券組合對(duì)于利率變動(dòng)的敏感性。

久期的概念最早是麥考利(Macaulay)在1938年提出來的，所以又稱麥考利久期（簡(jiǎn)記為D）。麥考利久期是使用加權(quán)平均數(shù)的形式計(jì)算債券的平均到期時(shí)間。它是債券在未來產(chǎn)生現(xiàn)金流的時(shí)間的加權(quán)平均,其權(quán)重是各期現(xiàn)金值在債券價(jià)格中所占的比重。

具體的計(jì)算是：將每次債券現(xiàn)金流的現(xiàn)值除以債券價(jià)格得到每一期現(xiàn)金支付的權(quán)重，并將每一次現(xiàn)金流的時(shí)間同對(duì)應(yīng)的權(quán)重相乘,最終合計(jì)出整個(gè)債券的久期。因此，麥考利久期的單位是年。

麥考利久期公式：

MacD表示麥考利久期；

ti表示i次現(xiàn)金流的時(shí)間；

V表示債券價(jià)值；

CFi表示第i次現(xiàn)金流的數(shù)量；

y表示收益率。

久期的計(jì)算公式就是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)的公式，因此可以被看成收回成本的平均時(shí)間。

案例1

麥考利久期計(jì)算示例。

有如下債券（如表1和表2所示）：

表1 債券信息簡(jiǎn)要

表2 債券現(xiàn)金流

麥考利久期=

（3.863421084×0.931506849+3.72198563×1.931506849+93.22892715×2.931506849）÷債券全價(jià)=2.8179（年）

2.修正久期

在實(shí)際的債券分析中，久期已經(jīng)超越了時(shí)間的概念，投資者更多地把它用來衡量債券價(jià)格變動(dòng)對(duì)利率變化的敏感度，即衡量當(dāng)收益率變化到一定程度時(shí)，債券價(jià)格變化多少，并且經(jīng)過一定的修正，使其能精確地反映量化利率變動(dòng)給債券價(jià)格造成的影響。由此，我們就有了修正久期這個(gè)概念。

修正久期公式：

k是一年付息次數(shù);

V是債券價(jià)格;

y是收益率。

修正久期的計(jì)算：

在【案例1】中，債券的修正久期是多少？

修正久期=麥考利久期/（1+收益率/付息頻率）=2.7148。

修正久期是債券價(jià)格對(duì)收益率的一階導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義可以理解為，假如修正久期是5，當(dāng)收益率下降1%時(shí)，債券價(jià)格上升5%。

修正久期越大，債券價(jià)格對(duì)收益率的變動(dòng)就越敏感，收益率上升所引起的債券價(jià)格下降幅度就越大，而利率下降所引起的債券價(jià)格上升幅度也越大。可見，同等要素條件下，修正久期小的債券比修正久期大的債券抗收益率上升風(fēng)險(xiǎn)能力強(qiáng)，但當(dāng)收益率下降時(shí)，收益能力較弱。

正是久期的上述特征給我們的債券投資提供了參照。當(dāng)我們判斷當(dāng)前的利率水平存在上升可能時(shí)，就可以集中投資于短期品種、縮短債券久期；當(dāng)我們判斷當(dāng)前的利率水平有可能下降時(shí)，則拉長(zhǎng)債券久期、加大長(zhǎng)期債券的投資，這就可以幫助我們?cè)趥械纳蠞q中獲得更高的溢價(jià)。

久期可以帶來債券投資管理中的一個(gè)極其重要的策略——“免疫策略”的理論基礎(chǔ)，根據(jù)該策略，當(dāng)交易主體債券組合的久期與債券的持有期相等的時(shí)候，該交易主體短期內(nèi)就實(shí)現(xiàn)了“免疫”的目標(biāo)，即短期內(nèi)的總財(cái)富不受利率波動(dòng)的影響。原理即把債券組合久期調(diào)整為0，這樣收益率變動(dòng)就不會(huì)影響債券的價(jià)值。

02

債券的凸性

我們之前介紹了衡量債券價(jià)格對(duì)收益率變化敏感程度的指標(biāo)久期，使用久期的確能較好地近似衡量收益率變化時(shí)債券價(jià)格大致變化了多少。但是，當(dāng)收益率發(fā)生較大變化時(shí)，使用久期來計(jì)算債券價(jià)格的變化會(huì)有一定誤差，比如表3中提到的債券：

表3 債券信息簡(jiǎn)要

我們知道其修正久期為2.7148，全價(jià)為100.8143元。如果收益率上升10個(gè)基點(diǎn)，即從3.8%上升到3.9%，重新計(jì)算的債券價(jià)格是100.5412元。按照久期調(diào)整的價(jià)格是

100.8143-0.1%×2.7148×100.8143=100.5406元，兩者之間差距不大。如果收益率上升100個(gè)基點(diǎn)，即從3.8%上升到4.8%，重新計(jì)算的債券價(jià)格是98.1278元。按照久期調(diào)整的價(jià)格是

100.8143-1%×2.7148×100.8143=98.0774元，有5分的差距。

從上述例子中可以看出，當(dāng)收益率發(fā)生大規(guī)模移動(dòng)時(shí)，使用久期來計(jì)算債券價(jià)格的變化會(huì)有一定誤差，其原因是久期本身也會(huì)隨著收益率變化，因此為了更精準(zhǔn)地衡量債券收益率變化對(duì)債券價(jià)格造成的影響，我們需要引入一個(gè)新的概念，凸性。

債券的凸性是1984年斯坦利·迪勒（Stanley Diller）提出的概念,是對(duì)債券價(jià)格曲線彎曲程度的一種度量。嚴(yán)格地講,凸性是指?jìng)狡谑找媛拾l(fā)生變動(dòng)而引起的債券價(jià)格變動(dòng)幅度的變動(dòng)程度。凸性是債券價(jià)格對(duì)收益率的二階導(dǎo)數(shù)。凸性越大,債券價(jià)格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風(fēng)險(xiǎn)所產(chǎn)生的誤差越大。凸性也是債券久期對(duì)利率敏感性的測(cè)量。在價(jià)格—收益率出現(xiàn)大幅度變動(dòng)時(shí)，它們的波動(dòng)幅度呈非線性關(guān)系。由久期做出的預(yù)測(cè)將有所偏離。凸性就是對(duì)這個(gè)偏離的修正。

債券的凸性有以下幾點(diǎn)特征：

（1）凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。

（2）對(duì)于沒有隱含期權(quán)的債券來說，凸性總大于0，即利率下降，債券價(jià)格將以加速度上升；當(dāng)利率上升時(shí)，債券價(jià)格以減速度下降。

（3）含有隱含期權(quán)的債券的凸性一般為負(fù)，即價(jià)格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續(xù)期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長(zhǎng)。因?yàn)槔氏陆禃r(shí)買入期權(quán)的可能性增加了。

案例2

假如一個(gè)債券的久期是5，凸性是30，如果收益率上升100基點(diǎn)，那么債券價(jià)格的變化是：

-5×(1%)+1/2×30×1%×1%=-4.85%，價(jià)格下跌幅度比只用久期的計(jì)算（-5×1%）=-5%要低0.15%，那就是凸性的效果。

如果收益率下降100基點(diǎn)，那么5×(1%)+1/2×30×1%×1%=5.15%，價(jià)格上漲幅度比只用久期的計(jì)算（5×1%）=5%要高0.15%。

通過案例2可以驗(yàn)證，正凸性會(huì)導(dǎo)致債券價(jià)格在收益率下降時(shí)價(jià)格上升的幅度超過相同收益率上漲幅度時(shí)帶來的價(jià)格下跌幅度。