股指期貨期現(xiàn)套利成功的一個前提是，投資者能夠確定股指期貨合約當(dāng)前價格與現(xiàn)貨指數(shù)差價是否合理，也就是判斷兩者之間是否存在套利空間。

目前，世界金融期貨市場上進(jìn)行期現(xiàn)套利決策的一個經(jīng)常被使用的工具是利用股指期貨的理論定價模型，通過對比股指期貨的實際價格和理論價格來判斷是否存在套利機(jī)會：

當(dāng)實際價格高于理論價格時，賣空指數(shù)期貨，買入指數(shù)現(xiàn)貨；

當(dāng)期貨實際價格低于理論價格時，買入指數(shù)期貨并賣空指數(shù)現(xiàn)貨。

那么這個理論定價模型是怎么產(chǎn)生的呢？

經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個基本定律稱為“一價定律”。意思是說，兩份相同的資產(chǎn)在兩個市場中的報價必然相同，否則一個市場參與者可以進(jìn)行所謂無風(fēng)險套利，即在一個市場中低價買進(jìn)，同時在另一個市場中高價賣出；最終，原來定價低的市場中因?qū)υ撡Y產(chǎn)需求增加而使其價格上漲，而原來定價高的市場中該資產(chǎn)價格會下跌，直至兩個報價相等。因此，供求力量會產(chǎn)生一個公平而有競爭力的價格以使套利者無法獲得無風(fēng)險利潤。

根據(jù)上述定律，股指期貨合約的價格與現(xiàn)貨指數(shù)價格之間的差價在理論上應(yīng)該處于一個合理范圍。也就是說，投資者可以根據(jù)股票現(xiàn)貨價格計算出股指期貨價格在理論上的合理價位。于是，股指期貨的理論定價模型應(yīng)運而生。

01 股指期貨理論定價模型的推導(dǎo)

由于影響股指期貨價格的相關(guān)因素太多，無法設(shè)立包羅所有影響因素的數(shù)學(xué)模型，因此，只能篩選出主要影響因素來建立數(shù)學(xué)模型。

1.股指期貨是從股票指數(shù)衍生而來，因此，它的價格（F）與股票現(xiàn)貨指數(shù)的價格（I）戚戚相關(guān)。股票現(xiàn)貨指數(shù)價格的漲跌必然影響股指期貨價格的漲跌。由此可以建立以下最粗糙的數(shù)學(xué)模型：

F~I

其中：符號~代表相關(guān)性。

2.我們需考查在買賣過程中影響股指期貨價格的主要因素。我們發(fā)現(xiàn)，由于期貨有交割期，賣方要過一段時間后才能交付現(xiàn)貨得到現(xiàn)金，買方到交割時才付出現(xiàn)金交收現(xiàn)貨，相當(dāng)于買方向賣方融資。這個融資成本用該時段的無風(fēng)險利率（可以考慮用市場利率代替）R表示。這樣，當(dāng)賣方賣出期貨合約時，他需要得到相當(dāng)于在交割前向買方“融資”的收益I·R。這個收益應(yīng)該加在期貨價格F里。于是我們將原始的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步精確化：

F≈I＋I(xiàn)·R

小貼士

無風(fēng)險利率

無風(fēng)險利率，是指將資金投資于某一項沒有任何風(fēng)險的投資對象而能得到的利息率。這是一種理想的投資收益率。在證券市場上，無風(fēng)險證券的利率為無風(fēng)險利率。無風(fēng)險證券是指能夠按時履約的固定收入證券，即沒有任何風(fēng)險的證券。

在證券界通常將期限小于3個月的短期貼現(xiàn)國債視為無風(fēng)險證券。這是因為3個月的期限很短，在這期間市場利率波動對債券的影響很小，其收益基本是恒定的，可以認(rèn)為是沒有風(fēng)險的。我國目前還沒有3個月的國庫券，因此無風(fēng)險利率可以參照一年期存款利率。

3.我們還發(fā)現(xiàn)股票有分紅機(jī)會，這是影響股指期貨價格的第三大因素。期貨賣方雖然賣出了股指合約，相當(dāng)于把股票組合提前賣掉了，但在交割期到來前，仍持有股票組合，還可以收到股息，因而減少了其持倉成本，這對相當(dāng)于已經(jīng)買了這個股票組合的期貨多頭來說不太公平，因此期貨價格要向下調(diào)整相當(dāng)于股息的幅度。設(shè)股息率為D，結(jié)果期貨價格還應(yīng)減去對應(yīng)資產(chǎn)收益I·D：

F=I+I·R-I·D

4.期貨合約交割時間的長短是影響期價的第四大因素。因為不同交割時間越長，相當(dāng)于融資時間越長，就像定期儲蓄一樣，錢存的時間越長，利息越高，所以不同月份的期貨合約掛牌價應(yīng)存在不同的時間升水問題。設(shè)期貨合約的交割期為T-t日，化為年份為（T-t）/365，最終股指期貨理論定價模型為：

F=I+I·R·（T-t）/365-I·D·（T-t）/365

即：

F=I+I·（R-D）·（T-t）/365

其中：F——股指期貨理論價格；

I——現(xiàn)貨股指價格；

R——無風(fēng)險利率；

D——年股息收益率；

T——交割時間；

t——某一時間。

5.其他影響因素怎么辦？這些因素全部被假定處于理想條件下，因此不再在模型中予以考慮。這些次要因素被假定為：

①投資者構(gòu)造出的投資組合與股市指數(shù)在組合比例、股指的價值與股票組合的市值方面都完全一致；

②投資者可以在金融市場很方便地借款和貸款以用于投資；

③無交易費用；

④當(dāng)套利機(jī)會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動；

⑤無心理恐慌因素；

⑥對股指期貨合約進(jìn)行現(xiàn)金結(jié)算。

6.如果考慮用連續(xù)復(fù)利形式的R、D，則上述股指期貨的理論定價模型將更精確為：

其中：R——無風(fēng)險利率；

d——以連續(xù)復(fù)利計算的年股息收益率（％）；

T——期貨合約到期時間；

t——現(xiàn)在的時間；

T-t——期貨合約到期天數(shù)。

02 連續(xù)復(fù)利下的股指期貨理論定價模型的推導(dǎo)

首先要解決什么是復(fù)利。

案例

設(shè)100元錢投資一年，年利率１０％，如果年底一次性發(fā)放紅利，則：

本利=100×（1＋10％）＝110.00（元）

如果每半年發(fā)放一次紅利，則：

上半年本利=100×（1＋10％/2）＝105（元）

年底本利=105×（1＋10％/2）＝110.25（元）

改為連續(xù)式：

年底本利=100×（1＋10％/2）×（1＋10％/2）

＝100×1.05×1.05＝110.25（元）

多出的0.25元就是利滾利帶來的，稱為“復(fù)利”。

那什么是連續(xù)復(fù)利呢？我們來看看提高計算復(fù)利的頻率對100元在一年末的價值影響（見表1）。

表1 提高計算復(fù)利的頻率對100元在一年末的價值影響

（設(shè)利率為每年10％）

當(dāng)ｍ趨于無窮大時，就稱為連續(xù)復(fù)利。

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)計算利息時間間隔達(dá)到每周一次和每日一次時，當(dāng)ｍ趨于無窮大時，年末到期時的本利總和已相差無幾了。從實用性來看，通常認(rèn)為連續(xù)復(fù)利與每日計復(fù)利等價。

根據(jù)連續(xù)復(fù)利的概念我們來推導(dǎo)下面的公式。

公式推導(dǎo)：由

F=I+I·（R-D）·（T-t）/365

＝I·［1＋（R-D）·（T-t）/365］

設(shè)：ｉ=（R-D）·（T-t）/365

則：F=I·（1＋ｉ）

有了上述理論定價模型，我們就可以隨時計算出當(dāng)時股指期貨合約的理論價格，然后與股指期貨合約實際價格對比。當(dāng)股指期貨合約實際價格高于或低于股指期貨合約理論價格時，進(jìn)行套利交易可以盈利。但事實上，交易是需要成本的，如交易手續(xù)費、資金利率成本等。這導(dǎo)致正向套利的合理價格要向上移，反向套利的合理價格要向下移，形成一個區(qū)間。在這個區(qū)間里，套利不但得不到利潤反而會導(dǎo)致虧損，因為所套的利潤還不夠交納交易成本費用。這個區(qū)間稱為“無套利機(jī)會區(qū)間”（也稱“套利成本區(qū)間”）。只有當(dāng)期貨指數(shù)實際交易價格高于區(qū)間上界時，正向套利才能進(jìn)行；反之，當(dāng)期貨指數(shù)實際交易價格低于區(qū)間下界時，反向套利才能進(jìn)行。

現(xiàn)在的關(guān)鍵是如何確定這個無套利機(jī)會區(qū)間的上下限，這是期現(xiàn)套利成功與否的重要一環(huán)。

03 無套利機(jī)會區(qū)間上下限的確定

案例

8月22日，股票市場上現(xiàn)貨滬深300指數(shù)為1224.1點，當(dāng)年A股市場分紅年股息率在2.6%左右，假設(shè)融資（貸款）年利率r=6%，那么，10月22日到期交割的股指期貨10月合約的目前理論價格應(yīng)為：

F＝1224.1+1224.1×（6%-2.6%）×1/6=1231.04（點）

據(jù)此來計算股指期貨合約的無套利區(qū)間。

又假設(shè)：投資人要求的回報率與市場融資利差為1%；期貨合約的交易雙邊手續(xù)費為0.2個指數(shù)點；市場沖擊成本為0.2個指數(shù)點；股票交易雙邊手續(xù)費及市場沖擊成本為1%。折算成指數(shù)點是：

借貸利率差成本=1224.1×1%×2/12（年份）=2.04（點）

股票交易雙邊手續(xù)費及市場沖擊成本=1224.1×1%=12.24（點）

期貨交易雙邊手續(xù)費及市場沖擊成本=0.2+0.2=0.4（點）

合計（TC）=12.24+2.04+0.4=14.68（點）

前面已經(jīng)求得目前股期期貨合約的合理價格應(yīng)為1231.04點，那么：

套利區(qū)間上界=1231.04+14.68=1245.72（點）

套利區(qū)間下界=1231.04-14.68=1216.36（點）

無套利機(jī)會區(qū)間=［1216.36，1245.72］

也就是說，在8月22日滬深300現(xiàn)貨指數(shù)為1224.1點時，股指期貨10月合約的價格如果在1245.72點以上時進(jìn)行正向套利或者在1216.36點以下時進(jìn)行反向套利才會有盈利，而且10月合約漲得越高正向套利盈利空間越大，跌得越低反向套利盈利空間越大或越安全。而10月合約價格在［1216.36，1245.72］內(nèi)是無套利機(jī)會的。

小貼士

市場沖擊成本

市場沖擊成本，是指在套利交易中需要迅速而且大規(guī)模地買進(jìn)或者賣出股票時，未能按照預(yù)定價位成交，從而多支付的成本。例如：投資者以每股15.50元掛盤買入小盤股“海歐衛(wèi)浴”，但無法成交。此時市場掛出的賣盤價為15.70元/股，而整個市場在上漲，該投資者擔(dān)心買不到，最后不得不以15.70元/股價買到股票，使得購股成本每股多支付了0.20元，這就是沖擊成本。再比如，某只基金的現(xiàn)價為1.10元，而投資者為了保證買入交易成功，很可能以1.11元成交，高出現(xiàn)價0.01元的費用便是市場沖擊成本。

各國證券市場的數(shù)據(jù)表明，市場沖擊成本一般為傭金與稅收的2倍以上。沖擊成本被認(rèn)為是機(jī)構(gòu)大戶難以擺脫的致命傷。比如，機(jī)構(gòu)大戶看好一組股票時，必須花費很長時間才能實現(xiàn)自己的建倉目的。如果急于建倉，由于短時間內(nèi)大量買進(jìn)會抬高股價，勢必會使建倉的成本遠(yuǎn)高于預(yù)期成本。同樣，如果急于拋股，等于是自己在打壓股價，最后實現(xiàn)的賣出價低于原來的預(yù)期價格。對散戶而言，由于買賣交易量很小，沖擊成本幾乎為零。

沖擊成本的大小，既與委托交易的數(shù)量有關(guān)，也與流動性大小有關(guān)。市場的流動性越小，沖擊成本越大。股票市場上每天的成交金額有幾百億元，看上去規(guī)模不小，流動性也可以。但那是上千只股票共同交易的結(jié)果，如果細(xì)分到不同的個股，不難發(fā)現(xiàn)其中一些股票的流動性還是很差的。相對而言，買賣股指期貨的沖擊成本就非常小。這是因為相應(yīng)的股指期貨合約只有幾個，交易集中導(dǎo)致流動性非常強(qiáng)，即使是機(jī)構(gòu)大戶，在其中進(jìn)出也很方便。