許多研究表明，金融時(shí)間序列往往圍繞一個(gè)固定的值上下波動(dòng)，較高的收益后面經(jīng)常跟隨著較低的收益，也就是說價(jià)格序列具有均值回復(fù)的趨勢，這一現(xiàn)象稱作均值回復(fù)(mean reversion)。均值回復(fù)現(xiàn)象存在于股票、匯率、利率等金融數(shù)據(jù)中，它反映了價(jià)格序列的內(nèi)在均衡機(jī)制。

業(yè)內(nèi)和學(xué)術(shù)界有很多關(guān)于股票和指數(shù)收益的均值回復(fù)研究，但是關(guān)于波動(dòng)率的均值回復(fù)的研究還相對(duì)較少。本文以VIX為例，對(duì)其統(tǒng)計(jì)特征和均值回復(fù)特征進(jìn)行分析。

VIX指數(shù)

VIX指數(shù)是CBOE發(fā)布的波動(dòng)率指數(shù)，是指數(shù)期權(quán)隱含波動(dòng)率加權(quán)平均后所得之指數(shù)，又稱為“恐慌指數(shù)”。通過對(duì)VIX指數(shù)的研究，可以提供對(duì)市場情緒和走勢的研判依據(jù)。本文主要利用2003年1月2日到2016年9月21日的VIX指數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究。

樣本內(nèi)的VIX走勢如圖1所示，可以直觀地看出，一旦波動(dòng)率指數(shù)偏離均值過遠(yuǎn)，就會(huì)有向均值靠近的走勢，這符合均值回復(fù)的定義描述，所以可以說，VIX可能具有均值回復(fù)的特征。

圖1 VIX走勢

下面我們利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)VIX指數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

VIX均值回復(fù)檢驗(yàn)

時(shí)間序列的均值回復(fù)的檢驗(yàn)方法有很多種，最為常見的是單位根檢驗(yàn)和自相關(guān)檢驗(yàn)，接下來分別利用這兩種方法對(duì)VIX指數(shù)進(jìn)行均值回復(fù)檢驗(yàn)。

單位根檢驗(yàn)

這里我們選擇Pillips-Perron檢驗(yàn)來判斷VIX指數(shù)序列是否服從單位根過程。建立如下線性方程：VIXt=α+ρVIXt-1+δt+εt。原假設(shè)H0∶ρ=1, δ=0，如果檢驗(yàn)結(jié)果的p值小于設(shè)定的顯著水平，即拒絕原假設(shè)，時(shí)間序列不存在單位根，說明時(shí)間序列有均值回復(fù)的特征。

利用Matlab工具箱對(duì)VIX指數(shù)進(jìn)行Pillips-Perron檢驗(yàn)得到：H=1，p-value<0.01，即拒絕存在單位根的原假設(shè)，VIX指數(shù)序列不存在單位根，有均值回復(fù)的特征。

自相關(guān)檢驗(yàn)

如果時(shí)間序列的變化率呈顯著的負(fù)相關(guān)性，該時(shí)間序列就被認(rèn)定為存在均值回復(fù)特征。

對(duì)VIX指數(shù)收益率進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果如圖2，圖中橫軸表示滯后階數(shù)，縱軸是自相關(guān)系數(shù)，當(dāng)圖中的箭頭線在橫線區(qū)間之內(nèi)，說明對(duì)應(yīng)階數(shù)的自相關(guān)性不顯著，反之，說明對(duì)應(yīng)階數(shù)的自相關(guān)性顯著。

圖2 VIX自相關(guān)檢驗(yàn)

可以看出變化指數(shù)確實(shí)存在一階滯后負(fù)自相關(guān)，而且這種負(fù)相關(guān)性顯著，說明自相關(guān)檢驗(yàn)的方法顯示VIX指數(shù)具有均值回復(fù)的特征。綜上，兩種檢驗(yàn)方法均顯示VIX指數(shù)具有均值回復(fù)的特征。

均值回復(fù)區(qū)間研究

在證明了VIX指數(shù)確實(shí)存在均值回復(fù)的特征后，我們可以通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)的分析尋找一個(gè)合適的均值回復(fù)區(qū)間。接下來，我們大致觀察一下VIX指數(shù)的分布特征。

以21日均線為參考對(duì)象，構(gòu)建如下指標(biāo)：rarioi=VIXi-MATδT，該指標(biāo)象征了VIX指數(shù)偏移T（T=21）日均線的比例。我們可以假設(shè)rarioi>a 的時(shí)候，VIX指數(shù)就會(huì)有向均值回復(fù)的趨勢。我們以a=2時(shí)為例，即rarioi>2時(shí)，之后的1—70天的VIX均值的走勢，VIX值向均值回歸的概率如圖4所示。

圖3 VIX統(tǒng)計(jì)特征

圖4 回歸趨勢和概率

可以看到，一方面VIX確實(shí)有下降的趨勢，另一方面無論是VIX均值的走勢還是VIX值向均值回歸的概率都在30日左右和60日左右達(dá)到了局部極大（?。┲?。這可能說明，VIX指數(shù)的平均回歸周期在30日左右。由于VIX不是對(duì)稱分布，所以VIX回歸區(qū)間的上下界是不一樣的，我們可以通過觀察不同的上下界VIX指數(shù)落在回歸區(qū)間的概率。

對(duì)于不同ratio閾值下，VIX指數(shù)落在MAT-rariodown×δT，MAT+rarioup×δT的概率，如圖5所示。

如果選擇VIX指數(shù)90%的概率落在回歸區(qū)間，結(jié)合上述結(jié)果，取rariodown=-1.8，rarioup=2.1，較為合適。對(duì)于rariodown=-1.8，rarioup=2.1時(shí)，VIX指數(shù)走勢和其上下界的走勢，如圖6所示。

圖5 不同上下界情況下，VIX指數(shù)落在區(qū)間上的概率

圖6 VIX走勢

這各區(qū)間的確定，可以作為VIX指數(shù)衍生品投資的參考，一旦VIX跌出這個(gè)區(qū)間的下界，我們就可以看多VIX，一旦VIX超過這個(gè)區(qū)間的上線，我們就可以看空VIX指數(shù)。

總結(jié)

本文采用兩種方法對(duì)VIX的均值回復(fù)特征進(jìn)行檢驗(yàn)，兩種檢驗(yàn)方法均顯示VIX指數(shù)確實(shí)具有均值回復(fù)的特征。這個(gè)結(jié)論可以應(yīng)用到我們對(duì)市場情緒和市場走勢的研判中去，VIX指數(shù)的均值回復(fù)意味著VIX指數(shù)不可能長時(shí)間處于低位或者高位。這意味著短期內(nèi)如果VIX指數(shù)過高或者過低，都可能蘊(yùn)含著市場將要變化的信息。此外，本文利用通過歷史數(shù)據(jù)的分析確定了VIX指數(shù)的回歸區(qū)間。

需要指出的是，均值回復(fù)的理論應(yīng)用不僅局限在VIX指數(shù)走勢判斷上，均值回復(fù)現(xiàn)象在很多金融時(shí)間序列中非常常見，例如，通過對(duì)股票價(jià)格的均值回復(fù)進(jìn)行投資，通過對(duì)行業(yè)指數(shù)均值回復(fù)的研究可以制定行業(yè)配置的投資策略，通過對(duì)市場指數(shù)走勢的研究進(jìn)行市場擇時(shí)等。